充電時の方程式 #
流れる電流を$i(t)$とすると、抵抗Rにかかる電圧は$Ri(t)$、コンデンサCにかかる電圧は$\frac{1}{C}\int i(t)dt$となる。回路方程式にすると
$$ E= Ri(t)+\frac{1}{C}\int i(t)dt $$
この微分方程式を解けば良い。これをラプラス変換すると
$$ \frac{E}{s}= RI(s)+\frac{1}{sC} I(s) $$
これをについて解くと
$$ I(s) = \frac{E}{R} \frac{1}{s+\frac{1}{CR}} $$
となる。これをラプラス逆変換すると
$$ i(t) = \frac{E}{R}e^{-\frac{1}{CR}t} $$
となる。従ってコンデンサの充電電圧は
$$ V_c(t) = E(1-e^{-\frac{1}{CR}t}) $$
p%までの充電に必要な時間は
$$ t = -RC\cdot \ln(1-p/100) $$
となる。